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　　《牛津大学研究生教材：代数几何和算术曲线》首先用概型语言介绍代数几何，然后通过对算术代数曲面和代数曲线约化理论的探讨，来介绍一般的理论。

《牛津大学研究生教材：代数几何和算术曲线》的雏形是分发给参加算术曲面理论研究生学习班的讲义。该讲义主要介绍算术曲线的几何基础，及其稳定约化理论。尽管这些理论在近的学科发展中极具重要性，并在数论方面的影响不断增长。然而遗憾的是，现在还没有任何文献，以一种系统的方式，让学生或非本专业数学工作者能接受的深度，来介绍这些理论。

《牛津大学研究生教材：代数几何和算术曲线》的目的是把这些当今在算术几何中，经典且不可或缺的理论结合起来，从而易于让更多的人理解这些理论。

1 交换代数的若干预备知识

 1.1 张量积

  1.1.1 模的张量积

  1.1.2 张量积的右正合性

  1.1.3 代数的张量积

 1.2 平坦性

  1.2.1 左正合性：平坦性

  1.2.2 平坦性的局部性质

  1.2.3 忠实平坦性

 1.3 形式完备化

  1.3.1 逆向极限与完备化

  1.3.2 Anin-Rees引理及其应用

  1.3.3 Noether局部环情形

2 概型的一般性质

 2.1 环的谱

  2.1.1 Zariski拓扑

  2.1.2 代数集

 2.2 赋环拓扑空间

  2.2.1 层

  2.2.2 赋环拓扑空间

 2.3 概型

  2.3.1 概型的定义和例子

  2.3.2 概型之间的态射

  2.3.3 射影概型

  2.3.4 Noether概型、代数簇

 2.4 既约概型与整概型

  2.4.1 既约概型

  2.4.2 不可约分支

  2.4.3 整概型

 2.5 维数

  2.5.1 概型的维数

  2.5.2 Noether概型的情形

  2.5.3 代数簇的维数

3 态射与基变换

 3.1 基变换技巧

  3.1.1 纤维积

  3.1.2 基变换

 3.2 对代数簇的应用

  3.2.1 有限型态射

  3.2.2 代数簇与基域扩张

  3.2.3 取值于基域扩张的点

  3.2.4 Frobunius

 3.3 态射的若干整体性质

  3.3.1 分离态射

  3.3.2 正常态射

  3.3.3 射影态射

4 一些局部性质

 4.1 正规概型

  4.1.1 正规概型与正则函数的扩张

  4.1.2 正规化

 4.2 正则概型

  4.2.1 概型的切空间

  4.2.2 正则概型与Jacobi准则

 4.3 平坦态射与光滑态射

  4.3.1 平坦态射

  4.3.2 平展态射

  4.3.3 光滑态射

 4.4 Zariski主定理及其应用

5  凝聚层与Cech上同调

 5.1 概型上的凝聚层

  ……

6 微分层

7 除子及其对曲线的应用

8 曲面的双有理几何

9 正则曲面

10 代数曲线的约化

参考文献

索引

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书籍介绍

本书首先用概形语言介绍代数几何，然后,通过对算术代数曲面和代数曲线约化理论的探讨，来介绍一般的理论。第一部分由前面的七章组成，主要介绍概形的一般理论。这对于学习代数几何的学生来说十分重要。第一章介绍张量积，平坦性，以及形式完备化等交换代数方面的知识。第二章介绍Hilbert零点定理，概形和概形之间的态射，以及其它的一些基本概念。第三章介绍概形的纤维积和基变换的基础概念。第四章处理概形以及概形间态射的局部理论，如正规性，光滑性等等。第五章由凝聚层的理论，给出概形的整体性质。第六章介绍几个特殊的凝聚层第七章介绍了除子的一般理论，然后是将其限制到某个数域的射影曲线。第二部分由三章组成。第八章首先介绍了爆破理论，在本章的中间部分，稍微偏离本书的主题，不加证明的给出了一些交换代数的结果。第九章介绍算术曲面上的相交理论及其应用，还特别给出附益公式，分解定理，Castelnuovo准则和极小正则模型的存在性。最后一章介绍代数曲线的约化理论。

本书的内容自成体系，内容详细，读者可以轻松的读懂每个细节，阅读本书对基础知识要求很少。一个优秀的大学生，和任何一个研究生，都具备阅读本书的基础知识。需要强调的是，对于初学者而言，用例子阐述概念是很有用的，做练习也是很必要的。每一章的最后，书中都列出了一些练习题。