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《数学女孩》系列以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探寻数学中的美。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的数学科普书”。

《数学女孩3：哥德尔不完备定理》有许多巧思。每一章针对不同议题进行解说，再于最后一章切入正题——哥德尔不完备定理。作者巧妙地以每一章的概念作为拼图，拼出与塔斯基的形式语言的真理论、图灵机和判定问题一道被誉为“现代逻辑科学在哲学方面的三大成果”的哥德尔不完备定理的大概证明。整本书一气呵成，非常适合对数学感兴趣的初高中生以及成人阅读。

序言

第1章　镜子的独白　　1

1.1　谁是老实人　　1

1.1.1　镜子呀镜子　　1

1.1.2　谁是老实人　　3

1.1.3　相同的回答　　7

1.1.4　回答是沉默　　8

1.2　逻辑谜题　　9

1.2.1　爱丽丝、博丽丝和克丽丝　　9

1.2.2　用表格来想　　10

1.2.3　出题者的心思　　14

1.3　帽子是什么颜色　　15

1.3.1　不知道　　15

1.3.2　对出题者的验证　　18

1.3.3　镜子的独白　　19

第2章　皮亚诺算术　　23

2.1　泰朵拉　　23

2.1.1　皮亚诺公理　　23

2.1.2　无数个愿望　　27

2.1.3　皮亚诺公理 PA1　　28

2.1.4　皮亚诺公理 PA2　　29

2.1.5　养大　　32

2.1.6　皮亚诺公理PA3　　34

2.1.7　小的？　　35

2.1.8　皮亚诺公理 PA4　　36

2.2　米尔嘉　　39

2.2.1　皮亚诺公理PA5　　42

2.2.2　数学归纳法　　43

2.3　在无数脚步之中　　50

2.3.1　有限？无限？　　50

2.3.2　动态？静态？　　51

2.4　尤里　　52

2.4.1　加法运算？　　52

2.4.2　公理？　　54

第3章　伽利略的犹豫　　57

3.1　集合　　57

3.1.1　美人的集合　　57

3.1.2　外延表示法　　58

3.1.3　餐桌　　60

3.1.4　空集　　61

3.1.5　集合的集合　　62

3.1.6　公共部分　　64

3.1.7　并集　　67

3.1.8　包含关系　　69

3.1.9　为什么要研究集合　　71

3.2　逻辑　　72

3.2.1　内涵表示法　　72

3.2.2　罗素悖论　　74

3.2.3　集合运算和逻辑运算　　77

3.3　无限　　79

3.3.1　双射鸟笼　　79

3.3.2　伽利略的犹豫　　83

3.4　表示　　86

3.4.1　归途　　86

3.4.2　书店　　87

3.5　沉默　　88

3.5.1　美人的集合　　88

第4章　无限接近的目的地　　91

4.1　家中　　91

4.1.1　尤里　　91

4.1.2　男生的“证明”　　92

4.1.3　尤里的‘证明’　　93

4.1.4　尤里的‘疑惑’　　96

4.1.5　我的讲解　　97

4.2　超市　　99

4.2.1　目的地　　99

4.3　音乐教室　　104

4.3.1　字母的导入　　104

4.3.2　极限　　106

4.3.3　凭声音决定音乐　　108

4.3.4　极限的计算　　111

4.4　归途　　119

4.4.1　前途　　119

第5章　莱布尼茨之梦　　123

5.1　若尤里，则非泰朵拉　　123

5.1.1　“若……则……”的含义　　123

5.1.2　莱布尼茨之梦　　126

5.1.3　理性的界限？　　128

5.2　若泰朵拉，则非尤里　　129

5.2.1　备战高考　　129

5.2.2　上课　　131

5.3　若米尔嘉，则米尔嘉　　133

5.3.1　教室　　133

5.3.2　形式系统　　135

5.3.3　逻辑公式　　137

5.3.4　“若……则……”的形式　　140

5.3.5　公理　　142

5.3.6　证明论　　144

5.3.7　推理规则　　145

5.3.8　证明和定理　　147

5.4　不是我，还是我　　150

5.4.1　家中　　150

5.4.2　形式的形式　　151

5.4.3　含义的含义　　153

5.4.4　若“若……则……”，则……　　153

5.4.5　邀约　　157

第6章　ε- δ 语言　　159

6.1　数列的极限　　159

6.1.1　从图书室出发　　159

6.1.2　到达阶梯教室　　160

6.1.3　理解复杂式子的方法　　164

6.1.4　看“绝对值”　　166

6.1.5　看“若……，则……”　　169

6.1.6　看“所有”和“某个”　　170

6.2　函数的极限　　174

6.2.1　ε-δ　　174

6.2.2　ε-δ 的含义　　177

6.3　摸底考试　　178

6.3.1　上榜　　178

6.3.2　静寂的声音、沉默的声音　　179

6.4　“连续”的定义　　181

6.4.1　图书室　　181

6.4.2　在所有点处都不连续　　184

6.4.3　是否存在在一点处连续的函数　　186

6.4.4　逃出无限的迷宫　　187

6.4.5　在一点处连续的函数！　　188

6.4.6　诉衷肠　　192

第7章　对角论证法　　197

7.1　数列的数列　　197

7.1.1　可数集　　197

7.1.2　对角论证法　　201

7.1.3　挑战：给实数编号　　209

7.1.4　挑战：有理数和对角论证法　　213

7.2　形式系统的形式系统　　215

7.2.1　相容性和完备性　　215

7.2.2　哥德尔不完备定理　　222

7.2.3　算术　　224

7.2.4　形式系统的形式系统　　226

7.2.5　词汇的整理　　229

7.2.6　数项　　230

7.2.7　对角化　　231

7.2.8　数学的定理　　233

7.3　失物的失物　　233

7.3.1　游乐园　　233

第8章　两份孤独所衍生的产物　　229

8.1　重叠的对　　229

8.1.1　泰朵拉的发现　　229

8.1.2　我的发现　　235

8.1.3　谁都没发现的事实　　236

8.2　家中　　237

8.2.1　自己的数学　　237

8.2.2　表现的压缩　　237

8.2.3　加法运算的定义　　241

8.2.4　教师的存在　　244

8.3　等价关系　　245

8.3.1　毕业典礼　　245

8.3.2　对衍生的产物　　247

8.3.3　从自然数到整数　　248

8.3.4　图　　249

8.3.5　等价关系　　254

8.3.6　商集　　257

8.4　餐厅　　261

8.4.1　两个人的晚饭　　261

8.4.2　一对翅膀　　262

8.4.3　无力考试　　264

第9章　令人迷惑的螺旋楼梯　　267

9.1　π 弧度　　267

9.1.1　不高兴的尤里　　267

9.1.2　三角函数　　269

9.1.3　sin45°　　272

9.1.4　sin60°　　276

9.1.5　正弦曲线　　280

9.2　π 弧度　　284

9.2.1　弧度　　284

9.2.2　教人　　286

9.3　π 弧度　　287

9.3.1　停课　　287

9.3.2　余数　　288

9.3.3　灯塔　　290

9.3.4　海边　　292

9.3.5　消毒　　293

第10章　哥德尔不完备定理　　295

10.1　双仓图书馆　　295

10.1.1　入口　　295

10.1.2　氯　　296

10.2　希尔伯特计划　　298

10.2.1　希尔伯特　　298

10.2.2　猜谜　　300

10.3　哥德尔不完备定理　　304

10.3.1　哥德尔　　304

10.3.2　讨论　　306

10.3.3　证明的概要　　308

10.4　春天——形式系统P　　308

10.4.1　基本符号　　308

10.4.2　数项和符号　　310

10.4.3　逻辑公式　　311

10.4.4　公理　　312

10.4.5　推理规则　　315

10.5　午饭时间　　316

10.5.1　元数学　　316

10.5.2　用数学研究数学　　317

10.5.3　苏醒　　317

10.6　夏天——哥德尔数　　319

10.6.1　基本符号的哥德尔数　　319

10.6.2　序列的哥德尔数　　320

10.7　秋天——原始递归性　　323

10.7.1　原始递归函数　　323

10.7.2　原始递归函数（谓词）的性质　　326

10.7.3　表现定理　　328

10.8　冬天——通往可证明性的漫长之旅　　331

10.8.1　整理行装　　331

10.8.2　数论　　332

10.8.3　序列　　334

10.8.4　变量•符号•逻辑公式　　336

10.8.5　公理、定理、形式证明　　346

10.9　新春——不可判定语句　　350

10.9.1　“季节”的确认　　350

10.9.2　种子——从含义的世界到形式的世界　　352

10.9.3　绿芽——p 的定义　　354

10.9.4　枝杈——r 的定义　　355

10.9.5　叶子——从A1往下走　　356

10.9.6　蓓蕾——从B1开始往下走　　357

10.9.7　不可判定语句的定义　　357

10.9.8　梅花——¬IsProvable(g)　　358

10.9.9　桃花——¬IsProvable(not(g)) 的证明　　360

10.9.10　樱花——证明形式系统P是不完备的　　362

10.10　不完备定理的意义　　364

10.10.1　“‘我’是无法证明的”　　364

10.10.2　第二不完备定理的证明之概要　　368

10.10.3　不完备定理衍生的产物　　371

10.10.4　数学的界限？　　372

10.11　带上梦想　　374

10.11.1　并非结束　　374

10.11.2　属于我　　375

尾　声　　379

后　记　　383

参考文献和导读　　387

结城浩（作者）

生于1963年。日本知名技术作家和程序员。在编程语言、设计模式、数学、加密技术等领域，编写了很多深受欢迎的入门书。代表作有《数学女孩》系列、《程序员的数学》、《图解密码技术》等。

作者主页：http://www.hyuki.com

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“负数？”米尔嘉问道。

“Negative Number。”泰朵拉回答。

“无理数？”

“Irrational Number。”

“虚数？”

“Imaginary Number。”

“否定的、不合理的、想象中的……”米尔嘉从座位上站起来，“这些英语单词充分体现了人类面对全新概念时产生的犹豫。”她扭头望向窗外。“要向新的道路前进时，任谁都会犹豫啊。”

本书涵盖了形形色色的数学题，从小学生都能明白的简单问题，到震撼整个数学世界的难题。

本书通过语言、图形以及数学公式表达主人公的思路。

如果你不太明白数学公式的含义，姑且先看看故事，公式可以一眼带过。泰朵拉和尤里会跟你一同前行。

擅长数学的读者，请不要仅仅阅读故事，务必一同探究数学公式。如此，便可品味到深埋在故事中的别样趣味。

说不定，你会发现尚未被别人察觉到的秘密呢。

将感谢和友情一并附上，

令大海恩赐之物重归它的怀抱。

——《来自大海的礼物》

涌来，又远去的 —— 海浪。

来来去去，反反复复 —— 一浪又一浪。

　　来去的节奏把意识拉向自己。

　　反复的节奏把意识推向过去。

那时，每个人都在做准备，想要展翅飞向苍穹。

而我，则在小小的鸟笼里蹲着，把身体蜷成一团。

　　应该诉说的自己，应该缄默的自己。

　　应该诉说的过去，应该缄默的过去。

每逢春天降临，我都会想起数学。

　　在纸上排列符号，描绘宇宙。

　　在纸上写下公式，推导真理。

每逢春天降临，我都会想起她们。

　　跟我一起讨论数学这个词语，

　　跟我一起度过青春的 —— 她们。

这是一个关于令我展翅飞翔的小小契机的故事，

你，愿意听我讲述吗？

我们要降低体温，去感受机器的心情

把变量“把变量x用自指代换就称作对角化”用自指代换就称作对角化。

无法证明把“无法证明把x对角化了的语句”对角化了的语句。

——《没有书名为〈没有书名为○○的书〉的书》

“啊！黄灯了！”

泰朵拉叫着，跑过了人行横道。这位活力少女刚刚跑过马路，信号灯就变成了红色，我跟米尔嘉在道路的这一侧站住了。

等绿灯。

泰朵拉冲我们这边招着手。

我挥手回应。

“啊，对了。”我对身旁的米尔嘉说道，“刚刚在加库拉…我没想到你会坐到泰朵拉的身边。”

沉默。

过了一会儿，米尔直视着信号灯，突然开了口：

“…坐在对面更能看清楚你的样子。”“诶？”

“绿灯了。”

书籍介绍

《数学女孩》系列以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探寻数学中的美。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的数学科普书”。

《数学女孩3：哥德尔不完备定理》有许多巧思。每一章针对不同议题进行解说，再于最后一章切入正题——哥德尔不完备定理。作者巧妙地以每一章的概念作为拼图，拼出与塔斯基的形式语言的真理论、图灵机和判定问题一道被誉为“现代逻辑科学在哲学方面的三大成果”的哥德尔不完备定理的大概证明。整本书一气呵成，非常适合对数学感兴趣的初高中生以及成人阅读。