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本书主要介绍三维流形组合拓扑的基本理论和方法,内容*括正则曲面理论、连通和素分解、Heegaard分解、Haken流形、Seifert流形等传统内容,同时融入了对*些*定理的现代处理方法,*括Heegaard分解稳定等*定理(Reidemeister-Singer定理)、Waldhausen的S3的Heegaard分解的*性定理、Lickorish-Wallace定理、Jaco加柄定理、Casson-Gordon的弱可约Heegaard分解与Haken流形的联系定理等,并尽量做到自相*容.为方便读者了解与三维流形组合拓扑相关的*些内容,在第2章介绍了曲面的拓扑分类,在*后几章介绍了纽结理论初步、辫子群理论初步和映射类群理论初步,供读者学习时参考.

目录　

《现代数学基础丛书》序　

序言　

前言　

第1章　预备知识　1　

1.1　拓扑流形、微分流形与组合流形　1　

1.1.1　拓扑流形与微分流形　1　

1.1.2　组合流形　5　

1.2　组合拓扑中的几个常用术语和常用定理　8　

1.2.1　子流形、嵌入、正则邻域　8　

1.2.2　同痕与同痕移动　12　

1.2.3　*般位置　13　

第2章　紧*曲面的拓扑分类和性质　15　

2.1　紧*连通曲面的多边形表示　15　

2.2　紧*曲面的拓扑分类　22　

2.2.1　曲面的连通和与素曲面　22　

2.2.2　紧*曲面的分类定理及证明　28　

习题　32　

第3章　三维流形初步　33　

3.1　初识组合三维流形　33　

3.1.1　三维流形的简单例子　33　

3.1.2　三维流形的拓扑分类问题　37　

3.2　构造三维流形　38　

3.2.1　三维流形的Heegaard分解　38　

3.2.2　Dehn手术　42　

3.3　三维流形中的不可压缩曲面　44　

3.4　Dehn引理、环道定理与球面定理　48　

习题　49　

第4章　正则曲面理论　51　

4.1　曲面上的正则曲线　51

4.1.1　正则曲线　51　

4.1.2　匹配方程组及其求解　53　

4.2　三维流形中的正则曲面　58　

4.2.1　正则曲面　58　

4.2.2　正则曲面的匹配系统　63　

4.3　不可压缩曲面与正则曲面——Haken定理　66　

习题　70　

第5章　三维流形的连通和素分解　71　

5.1　三维流形连通和分解的定义及基本性质　71　

5.2　连通和素分解存在*性定理　75　

习题　78　

第6章　压缩体与Heegaard图　79　

6.1　压缩体上的圆片系统　79　

6.2　柄体与压缩体中的不可压缩曲面　87　

6.3　Heegaard图与三维流形群　91　

习题　95　

第7章　有亏格为1的Heegaard分解的三维流形分类　96　

7.1　预备知识和两个*例　96　

7.2　透镜空间的分类　100　

7.3　透镜空间的连通和　101　

习题　103　

第8章　Haken流形　104　

8.1　三维流形谱的定义和性质　104　

8.2　Haken流形及其性质　106　

习题　110　

第9章　曲面和三维流形上的莫尔斯函数　111　

9.1　微分流形上的莫尔斯理论概论　111　

9.2　曲面上的莫尔斯理论与Alexander定理的证明　114　

9.2.1　曲面上的莫尔斯理论　114　

9.2.2　Alexander定理的证明　116　

9.3　三维流形上的莫尔斯理论　118　

第10章　Heegaard分解的结构　121　

10.1　稳定化的Heegaard分解　121　

10.2　可约的Heegaard分解与Haken引理及其应用　125　

10.2.1　可约的Heegaard分解　125

10.2.2　Haken引理及其推广　126　

10.2.3　Heegaard亏格在连通和下的可加性与Jaco加柄定理　129　

10.3　广义Heegaard分解与Heegaard分解的融合　130　

10.4　瘦身的广义Heegaard分解与Casson-Gordon定理　134　

10.5　曲线复形与Lickorish-Wallace定理的*个证明　140　

10.5.1　曲线复形　140　

10.5.2　Heegaard分解的稳定化距离与Lickorish-Wallace定理的*个证明　142　

习题　146　

第11章　横扫函数及应用　147　

11.1　横扫函数　147　

11.2　S3的Heegaard分解*性定理的证明　152　

11.3　Heegaard分解稳定等*定理的*个简单证明　155　

11.4　透镜空间Heegaard分解的*性　157　

习题　162　

第12章　Seifert流形　164　

12.1　Seifert流形的定义和例子　164　

12.2　Seifert流形中的不可压缩曲面　166　

12.3　Seifert流形的分类　171　

习题　175　

第13章　三维流形的JSJ分解与几何化定理　176　

13.1　JSJ分解定理　176　

13.2　几何化定理　181　

13.2.1　双曲3-流形与球3-流形　181　

13.2.2　几何化定理　184　

习题　185　

第14章　三维流形拓扑中的*些决定问题　186　

14.1　两个预备引理　186　

14.2　应用1：分裂链环的决定　188　

14.3　应用2：找本质球面　189　

14.4　应用3：判定3-流形边界的可压缩性和纽结的平凡性　193　

习题　197　

第15章　纽结理论初步　198　

15.1　纽结、链环与链环不变性质　198　

15.2　纽结的*些基本不变性质　206　

15.3　纽结的类型　215

15.4　纽结的Alexander多项式　217　

第16章　辫子群理论初步　221　

16.1　辫子群的定义及Artin表示　221　

16.2　辫子群的基本性质　228　

16.3　辫子群上的字与共轭问题　232　

16.4　辫子与链环　237　

第17章　映射类群理论初步　244　

17.1　映射类群的定义和简单例子　244　

17.2　Dehn扭转及基本性质　246　

17.3　映射类群的生成元集　253　

17.4　Dehn-Nielsen-Baer定理与Nielsen-Thurston分类定理　257　

17.4.1　Dehn-Nielsen-Baer定理　257　

17.4.2　Nielsen-Thurston分类定理　258　

参考文献　262　

《现代数学基础丛书》已出版书目　269　

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