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柏拉图对于数学有着深湛的兴趣；但哲学仍是他的酷爱。这两种兴趣汇聚成为智识上完全相互作用的关系。柏拉图的数学研究有着迥异的动机、表象和结果，这来自这样的事实：他首先是哲学家，他的哲学（对数学）有着不同的运用；也来自这样的事实：他热爱数学。

当柏拉图把他的注意力转向数学时，他是用哲学家的眼睛在看，这对数学的进步很有意义。数学与哲学要素的相互作用在柏拉图哲学体系的发展中是个重要的因素。本书的主要部分将交付予展示数学如何影响哲学问题的构想，决定其方法，影响哲学的内容的任务。

本书将数学要素置于显著的位置，特别提及要展示哲学要素对数学的意义。在其余部分里，要把哲学要素置于显著位置，试图展示数学要素对它的影响。

1 导言

3 章 柏拉图对数学的一般态度

20 第二章 哲学问题的公式化

56 第三章 方法或者研究的技术

103 第四章 数学程序与辩证法的关系

123 参考文献

125 索引

欧文·埃尔加·米勒（Irving Elgar Miller），美国学者，芝加哥大学哲学博士，著有《思维心理学》（The Psychology of Thinking ）、《面向生命所需的教育》（Education for the Needs of Life）等书。

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柏拉图对数学的一般态度

柏拉图的对话富含着对数学的隐喻和征引。不难看出他是数学科学的伟大鉴赏家，对于数学有着敏锐的鉴赏力。让我们在追究细节之前先举出一般状况的一点例证。

数学研究迷住了柏拉图乃是出于其“魅力”。正是通过这一品质，立体几何得以进步，即使它还没有得到发展，没有获得普遍欣赏，也没有得到好好传授，人们声称算术有着“伟大而鼓舞人心的效能”。它是“一种天性应当从中得以受到训练的知识”，对人类来说是不可或缺的。数学价值的这后一概念由柏拉图可能晚期的对话《法律篇》予以非常强调之论断。在此他论证说“对于人类不可或缺的东西和对这些东西的证明的无知对每个人来说都是可耻的”。某种程度的数学知识“对于被视为神、半神、英雄或者想要知道任何品类的知识的人来说都是必需的”，“不知道数学的基本应用是荒唐而无耻的，更多的是猪的而非人类的特征”。

柏拉图以如此崇高的措辞表达他对数学科学的欣赏与赞美。深入且更详细的研究将更加具体地表明，他对待这一主题的态度的本质和这一态度赖以建立的基础。他对于数学研究价值的判断更多地是从哲学的思维方式中成长起来，而非来自实际的思维方式。他对于实用的态度如何将在后面予以详细讨论。在此我们有充分理由说，他在数学上的主要兴趣集中在数学的品质、特性、精神过程和所涉及的方法，他在数学中看到的科学程序的可能性，以及数学在哲学的过程、方法和成果领域对他有所启发的暗示与类比。

在柏拉图认为有价值的数学研究的品质与特征之中，重要的是数学的普遍训练价值。任何像他一样对推理过程的培养那么感兴趣的人都忍不住会看到数学在这方面的可能性，即使数学科学在他那个时候还是片断零碎的也罢。他观察到，接受数学训练使得一个哪怕在其他方面都愚笨的人，要比没有接受过数学训练的人在所有其他知识门类里都有着快得多的理解力。他对这一事实的印象如此深刻，以至他在讨论算术时曾经谈到过这个观点，后来在讨论几何学时又重复了这个观点。正是因为数学赋予抽象能力和推理过程的训练的缘故，柏拉图在其哲学的唯理论倾向之外，将数学当作哲学的预备课程。

虽然在柏拉图的时代，所有科学，其中包括数学，都多少处于发展的萌芽阶段，但是数学这一主题，出于其要素的相对单纯性的理由，已经远远超越了其余科学，并且由于其程序的清晰和结果的确定，巍然屹立于卓尔不群的境地。这样一个事实对于柏拉图有着比能够为数学的精确所激起的任何功利价值都更大的兴味。他对以下事实有着哲学的鉴赏力：涉及算术的技艺和涉及称重与测量之类的技艺是精确的，而在这些技艺中，那些“为纯粹哲学冲动[即，理论的或者纯粹的数学] 所激活的技艺或者科学乃是在精度与真伪上无限地优越”。他感觉这一清晰与确定的原因在于三个重要的特征：（1）数学中的直观要素；（2）数学更准确地将定义概念化；以及（3）数学的程序方法。因为这些要点后面还要在另一个关系里予以进一步的讨论，因此，在这里只对它们进行简略的阐述。

柏拉图对于数学中的直观要素印象深刻这一点确实来自对《美诺篇》的征引，如果我们没有其他来源的话。当他需要为他的知识学说寻找一个例证以确认知识是在此生之前的状态中被感知的，他转向了数学。《美诺篇》里的奴隶少年被塑造为完成了一个几何学的示范，这里“没有教导”，但是通过提问的过程，他自己恢复了他的知识。无论柏拉图是否感知到数学中直观要素的意义的全部力量，但他确实在这一实践例证中展示出这一要素。认为正是数学中的这一直观要素要么创造出了这一哲学问题，要么也是创造这一哲学问题的一个因素，难道不合理吗？柏拉图在他的回忆学说中寻求的就是这一哲学问题的答案。

数学，相比其他学科，也已经达到更高程度的关于定义的精确概念化。柏拉图欣赏数学的理由之一也可以在对这一事实的频繁阐述中看出端倪，他借由它来说明对于好定义的条件是什么。在《泰阿泰德篇》里，对于平方数、椭圆和根的定义被用来展示枚举作为定义原则是不充分的，并且定义必须以普遍术语来表达，必须引出与逻辑分类的原则相一致的一个类。在《高尔吉亚篇》里，修辞学被一个对话者定义为一门涉及论说的艺术。这一定义的松散立刻被注意到了，其他人指出，修辞学以这样的方式定义无法与其他所有也涉及论说的艺术相区别。为了澄清事物，给出了一个来自数学领域的例证。如果算术被定义为那些通过言辞起作用的艺术之一，那计算也是如此。那么，两者的区别在哪里？必须指出—区别就在于计算的艺术不仅考虑奇数和偶数的数量，而且还考虑它们彼此的数值关系。

对于来自数学中直观要素和仔细定义的这类确定性与清晰性，柏拉图认识到，还要补充一点，它们也起因于程序的方法。

在此是一门人们不信任且力避所有来自可能性的论证的科学。

“数学家如果在几何学里从可能性与相似性来进行推导，那他就一文不值。”

有迹象显示，柏拉图特别感兴趣于数学暗示着一种特殊的程序方法——分析的方法。有证据显示，他对这一方法给予了特别关注，并且将它发展到更高程度。传统上，他被认为是这一方法的发明者。在《美诺篇》里，他暗示这一方法可以应用于数学领域之外。

在论证美德是否能够被教会的问题时，像在几何学里一样，首先作出一个假设，然后从它推导出结论。如果这些结论与已知的事实相矛盾，这个假设就被驳倒；反之，如果结论与事实一致，假设就被接受。

毋庸置疑，一个具有哲学秉性的人应当被数学过程的美所打动。在那个研究领域还没有被细碎分割为专业的时代，那时科学程序的方法还处在发展的萌芽阶段，在这里有一门科学至少还有某些东西属于它自己的技术。从具有无可怀疑的清晰性的直观材料与毫不含糊予以定义的概念出发，藉助于在每一步骤防范谬误的方法前行，就可以达到结论的确定性，这种确定性与其他科学模糊的可能性形成了鲜明的对比。

与数学的清晰性与确定性的品质密切关联的还有必然性与普遍性。柏拉图也注意到了这些品质，并且留下了强烈的印象。

谈到算术，他说：“这一知识也许确实会被称为必然的，因为它是纯粹理智在达到纯粹真理时必须要用到的。”然而这一段落不是结论性的。但是在《法律篇》里，他在提到数学主题时指出：“在它们中间存在某种必然的东西，不能弃之不顾”；而且他还补充说：“也许那个说出了有关神的箴言的人在他说话时将此铭记在心，甚至神自己也不能对抗必然性。”在《泰阿泰德篇》里，算术的观念被归类于普遍观念，并且在他于《理想国》中描述的为武士阶级规划的教育蓝图中，他赋予以下说法极大的重要性：注意力集中在“具有普遍用途的东西——所有艺术与科学与智力共同使用的某物——数字与计算上，所有的艺术与科学必定分享这些东西”。

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柏拉图对于数学有着深湛的兴趣；但哲学仍是他的酷爱。这两种兴趣汇聚成为智识上完全相互作用的关系。柏拉图的数学研究有着迥异的动机、表象和结果，这来自这样的事实：他首先是哲学家，他的哲学（对数学）有着不同的运用；也来自这样的事实：他热爱数学。

当柏拉图把他的注意力转向数学时，他是用哲学家的眼睛在看，这对数学的进步很有意义。数学与哲学要素的相互作用在柏拉图哲学体系的发展中是个重要的因素。本书的主要部分将交付予展示数学如何影响哲学问题的构想，决定其方法，影响哲学的内容的任务。

本书将数学要素置于显著的位置，特别提及要展示哲学要素对数学的意义。在其余部分里，要把哲学要素置于显著位置，试图展示数学要素对它的影响。

书籍介绍

柏拉图对于数学有着深湛的兴趣；但哲学仍是他的酷爱。这两种兴趣汇聚成为智识上完全相互作用的关系。柏拉图的数学研究有着迥异的动机、表象和结果，这来自这样的事实：他首先是哲学家，他的哲学（对数学）有着不同的运用；也来自这样的事实：他热爱数学。

当柏拉图把他的注意力转向数学时，他是用哲学家的眼睛在看，这对数学的进步很有意义。数学与哲学要素的相互作用在柏拉图哲学体系的发展中是个重要的因素。本书的主要部分将交付予展示数学如何影响哲学问题的构想，决定其方法，影响哲学的内容的任务。

本书将数学要素置于显著的位置，特别提及要展示哲学要素对数学的意义。在其余部分里，要把哲学要素置于显著位置，试图展示数学要素对它的影响。