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本书是“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材，也是国家精品课程、国家级精品资源共享课配套教材.

作者本着去粗取精、更新拓宽的思想科学地组织内容.全书密切结合物理实例，特别注重与后续课程的联系，并增加了一般传统教材中所没有的非线性方程、积分方程、分步傅里叶变换及小波变换等内容.全书分为复变函数论（第一篇）、数学物理方程（第二篇）、特殊函数（第三篇）和近似方法及现代内容（第四篇）四个部分.在每章后都有小结，每小节后都附有习题，习题中包含具有一定深度、难度和挑战度的题，以培养学生分析问题、解决问题的能力和创新能力.为了方便读者，每章后都有以二维码形式链接的授课课件及习题分析与讨论，书末附有习题参考答案.

目录

第一篇 复变函数论

第一章 解析函数 3

1.1 复数及其运算 3

习题1.1 6

1.2 复变函数 7

习题1.2 9

1.3 微商及解析函数 10

习题1.3 15

1.4 初等解析函数 16

习题1.4 22

1.5 解析函数的几何性质 23

习题1.5 28

本章 小结 29

第二章 解析函数积分 30

2.1 复变函数的积分 30

习题2.1 32

2.2 柯西定理 33

习题2.2 38

2.3 柯西积分公式 38

习题2.3 44

本章 小结 45

第三章 复变函数级数 46

3.1 复级数 46

3.2 幂级数 49

习题3.2 51

3.3 泰勒级数 51

习题3.3 54

3.4 洛朗级数 55

习题3.4 60

3.5 单值函数的孤立奇点 61

习题3.5 65

本章 小结 67

第四章 解析延拓Γ函数B函数 68

4.1 解析延拓 68

习题4.1 70

4.2Γ函数 71

习题4.2 73

*4.3 B函数 74

习题4.3 75

本章 小结 76

第五章 留数理论 77

5.1 留数定理 77

习题5.1 81

5.2 利用留数理论计算实积分 82

习题5.2 86

5.3 物理问题中的几个积分 87

习题5.3 90

*5.4 多值函数的积分 91

习题5.4 93

本章 小结 95

第二篇 数学物理方程

第六章 定解问题 99

6.1 引言 99

6.2 三类数理方程的导出 101

习题6.2 105

6.3 定解条件 106

习题6.3 110

本章 小结 111

第七章 行波法 112

7.1 无界弦的自由振动达朗贝尔公式 112

习题7.1 116

7.2 无界弦的强迫振动 117

习题7.2 121

*7.3 三维无界空间的自由振动泊松公式 121

习题7.3 127

*7.4 三维无界空间的受迫振动推迟势 127

本章 小结 130

第八章 分离变量法 131

8.1 有界弦的自由振动 131

习题8.1 138

8.2 非齐次方程纯强迫振动 140

习题8.2 143

8.3 非齐次边界条件的处理 144

习题8.3 148

8.4 正交曲线坐标系中的分离变量法 148

习题8.4 157

本章 小结 159

第九章 积分变换法 160

9.1 傅里叶变换 160

习题9.1 167

9.2 傅里叶变换法 169

习题9.2 172

9.3 拉普拉斯变换 173

习题9.3 179

9.4 拉普拉斯变换法 180

习题9.4 182

本章 小结 184

第十章 格林函数法 185

10.1δ函数 185

习题10.1 188

10.2 边值问题的格林函数法 189

习题10.2 195

10.3 稳恒问题的格林函数 195

习题10.3 198

10.4 电像法与狄氏格林函数 199

习题10.4 204

*10.5 含时问题的格林函数法 205

习题10.5 210

本章 小结 211

第三篇 特殊函数

第十一章 勒让德多项式 215

11.1 勒让德多项式 215

习题11.1 220

11.2 勒让德多项式的性质 220

习题11.2 226

11.3 连带勒让德函数与球函数 227

习题11.3 232

本章 小结 233

第十二章 贝塞尔函数 234

12.1 贝塞尔函数 234

习题12.1 239

12.2 贝塞尔函数的性质 239

习题12.2 245

*12.3 其他柱函数 246

习题12.3 253

本章 小结 256

第十三章 施图姆-刘维尔理论 258

13.1 施图姆-刘维尔本征值问题 258

习题13.1 261

*13.2 高斯方程和库默尔方程 262

本篇 主要特殊函数性质小结 265

*第四篇 近似方法及现代内容

第十四章 变分法 269

14.1 泛函和泛函的极值 269

习题14.1 277

14.2 用变分法解数理方程 278

习题14.2 285

本章 小结 286

第十五章 非线性方程 287

15.1 非线性方程的某些初等解法 287

习题15.1 292

15.2 孤波和孤子 292

习题15.2 297

15.3 解析近似法之正则摄动法 298

习题15.3 301

15.4 数值解法之分步傅里叶变换法 301

本章 小结 305

第十六章 积分方程 306

16.1 积分方程的几种解法 306

习题16.1 312

16.2 施密特-希尔伯特理论 313

习题16.2 316

16.3 维纳-霍普夫方法 316

习题16.3 318

本章 小结 319

第十七章 小波变换 320

17.1 小波变换的由来 320

17.2 小波变换 323

习题参考答案 327

参考文献 349

附录350

Ⅰ.矢量微分算子与拉普拉斯算符 350

Ⅱ.傅里叶变换简表 352

Ⅲ.拉普拉斯变换简表 353

索引 355

Contents

Part One Theory of Complex Variable Function

Chapter 1 Analytic Function 3

1.1 Complex numbers and their operations 3

Problem 1.1 6

1.2 Function of a complex variable 7

Problem 1.2 9

1.3 Derivative and analytic function 10

Problem 1.3 15

1.4 Elementary analytic functions 16

Problem 1.4 22

1.5 GeometricProperties of analytic functions 23

Problem 1.5 28

Summary for chapter 1 29

Chapter 2 The Integral of the Analytic Function 30

2.1 The integral of the variable function 30

Problem 2.1 32

2.2 The Cauchy theorem 33

Problem 2.2 38

2.3 Cauchy integral formula 38

Problem 2.3 44

Summary for chapter 2 45

Chapter 3Series of Complex Variable Function 46

3.1 Complex series 46

3.2 Power series 49

Problem 3.2 51

3.3 Taylor series 51

Problem 3.3 54

3.4 Laurent series 55

Problem 3.4 60

3.5 The isolated singularity of the single valued function 61

Problem 3.5 65

Summary for chapter 3 67

Chapter 4 Analytic ContinuationΓ FunctionB Function 68

4.1 Analytic continuation 68

Problem 4.1 70

4.2 Γ function 71

Problem 4.2 73

*4.3 B function 74

Problem 4.3 75

Summary for chapter 4 76

Chapter 5 The Residue Theory 77

5.1 The Residue theorem 77

Problem 5.1 81

5.2 Real integral calculated by the Residue theorem 82

Problem 5.2 86

5.3 Several integrals in physicalProblems 87

Problem 5.3 90

*5.4 Integrals of the multi valued function 91

Problem 5.4 93

Summary for chapter 5 95

Part TwoEquations of Mathematical Physics

Chapter 6 Complete Mathematical Models 99

6.1 Introduction 99

6.2 Derivation for three type of equations of mathematical physics 101

Problem 6.2 105

6.3 Boundary conditions and initial conditons 106

Problem 6.3 110

Summary for chapter 6 111

Chapter 7 Method of Traveling Waves 112

7.1 Solution for the free vibration of the unbounded string D’Alembert formula 112

Problem 7.1 116

7.2 Solution for the pure forced vibration of the unbounded string 117

Problem 7.2 121

*7.3 The free vibration in three dimensional unbounded space Poisson formula 121

Problem 7.3 127

*7.4 The forced vibration in three dimensional unbounded space Retarded potentials 127

Summary for chapter 7 130

Chapter 8 The Method of Separation of Variables 131

8.1 The free vibration of the bounded string 131

Problem 8.1 138

8.2 The non homogeneous equation the pure forced vibration 140

Problem 8.2 143

8.3 The treatment of the non homogeneous boundary conditions 144

Problem 8.3 148

8.4 The separation of variables in the orthogonal curvilinear coordinates 148

Problem 8.4 157

Summary for chapter 8 159

Chapter 9 I ntegral Variable Method 160

9.1 Fourier transforms 160

Problem 9.1 167

9.2 Fourier transform method 169

Problem 9.2 172

9.3 Laplace transforms 173

Problem 9.3 179

9.4 Laplace transform method 180

Problem 9.4 182

Summary for chapter 9 184

Chapter 10 Green’s Function Method 185

10.1 δ function 185

Problem 10.1188

10.2 Boundary valueProblems solved by Green’s function method 189

Problem 10.2 195

10.3 Green’s function for stableProblem 195

Problem 10.3 198

10.4 Electro image method and Dirichlet Green’s function 199

Problem 10.4 204

*10.5 Time related mathematicalProblems solved by Green’s function method 205

Problem 10.5 210

Summary for chapter 10 211

Part ThreeSpecial Functions

Chapter 11 Legendre Polynomials 215

11.1 Legendre polynomials 215

Problem 11.1 220

11.2 TheProperty of Legendre polynomials 220

Problem 11.2 226

11.3 Associated Legendre funtion and spherical function 227

Problem 11.3 232

Summary for chapter 11 233

Chapter 12 Bessel functions 234

12.1 Bessel functions 234

Problem 12.1 239

12.2 TheProperty of Bessel functions 239

Problem 12.2 245

*12.3 Other Column Functions 246

Problem 12.3 253

Summary for chapter 12 256

Chapter 13 Sturm Liouville Theory 258

13.1 Sturm Liouville EigenvalueProblem 258

Problem 13.1 261

*13.2 Gauss equation and the Kummer equation 262

Summary for theProperties of the principal special functions in part three 265

*Part FourApproximation Method and Modern Content

Chapter 14 The Variational Method 269

14.1 Functionals and functional extreme 269

Problem 14.1 277

14.2 Solving equations of mathematical physics by the variational method 278

Problem 14.2 285

Summary for chapter 14 286

Chapter 15 Nonlinear Equations 287

15.1 Some Primary solution method for nonlinear equations 287

Problem 15.1 292

15.2 Isolated wave and soliton 292

Problem 15.2 297

15.3 The regular perturbation method in analytical approximation methods 298

Problem 15.3 301

15.4 A step by step Fourier transform method for numericalapproximate methods 301

Summary for chapter 15 305

Chapter 16 Integral Equations 306

16.1 Several methods for solving integral equations 306

Problem 16.1 312

16.2 Schimidt Hilbert theory 313

Problem 16.2 316

16.3 Wiener Hopf method 316

Problem 16.3 318

Summary for chapter 16 319

Chapter 17 Wavelet transform 320

17.1 The origin of wavelet transform 320

17.2 Wavelet transform 323

Reference keys to theProblems 327

Bibliography and references 349

Appendix 350

Ⅰ.Vector Differential Operator and Laplace Operator 350

Ⅱ.Summary table of Fourier transform 352

Ⅲ.Summary table of Laplace transform 353

Index 355

姚端正，武汉大学二级教授，博士导师，享受国务院政府特殊津贴，首届国家级教学名师奖的获得者，湖北省有突出贡献的中青年专家，全国高等院校数学物理研究会副理事长。

姚端正教授长期从事非线性光学和数学物理领域的科研工作， 近年来她主要从事半导体限制结构（如量子阱，量子点）以及相干瞬态光学效应等光学非线性的理论研究。此外，还从事光纤中非线性光传输特性的解析研究。先后主持或承担湖北省自然科学基金、国家自然科学基金以及国防项目等科研项目10项，在PHYSICAL REVIEW A，Applied PhysicsLetters，Applied Physics B等国内外重要学术刊物上发表论文80余篇，以第一完成人获国家教育部科技进步二等奖一项。已指导硕、博士研究生30余名，目前正指导博士研究生4名。

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一般而言，一既无源又无旋的平面矢量场，总可以构造一个解析函数，即复势与之对应。

书籍介绍

本书是“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材，也是国家精品课程、国家级精品资源共享课配套教材.

作者本着去粗取精、更新拓宽的思想科学地组织内容.全书密切结合物理实例，特别注重与后续课程的联系，并增加了一般传统教材中所没有的非线性方程、积分方程、分步傅里叶变换及小波变换等内容.全书分为复变函数论（第一篇）、数学物理方程（第二篇）、特殊函数（第三篇）和近似方法及现代内容（第四篇）四个部分.在每章后都有小结，每小节后都附有习题，习题中包含具有一定深度、难度和挑战度的题，以培养学生分析问题、解决问题的能力和创新能力.为了方便读者，每章后都有以二维码形式链接的授课课件及习题分析与讨论，书末附有习题参考答案.