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知名理论物理学家大栗博司先生写给女儿的数学启蒙书，书中以用“数学语言”解读自然为线索，突破传统数学教育的顺序和教学方式，用历史事件、生动故事以及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”、用数学探索自然不可见结构的思维方式，是重新认识和理解数学的科普佳作。

第 1章　从不确定的信息中作出判断..............................................1

序欧　杰 辛普森审判与德肖维茨教授的辩护主张..................1

1.先来掷骰子.......................................................................3

2.赌博中的不败之法.............................................................4

3.条件概率与贝叶斯定理......................................................8

4.乳腺癌检查是否没有意义？..............................................　10

5.用数学来“学习经验”.......................................................　13

6.核电站重大事故再次发生的概率.......................................　15

7.欧　杰 辛普森真的杀害了妻子吗？................................　18

第 2章　回归基本原理................................................................　21

序创新与创造的必要条件....................................................　21

1.加法、乘法与运算三定律.................................................　22

2.减法与0的发现...............................................................　25

3.(.1)×(.1)　为何等于1 ？ ................................................　29

4.分数与无限分割..............................................................　32

5.假分数→带分数→连分数...............................................　33

6.用连分数制作历法...........................................................　35

7.过去不被认可的无理数....................................................　37

8.二次方程的华丽历史........................................................　43

用数学的语言看世界

第3章　大数字并不恐怖.............................................................　49

序**初的原子弹爆炸实验与“费米问题”...............................　49

1.大气中的二氧化碳增加了多少....................................　51

1.1　人类消耗了多少能量................................................　51

1.2　人类排放了多少二氧化碳.........................................　52

2.遇到大数字不必慌张........................................................　53

3.让天文学家寿命倍增的秘密武器.......................................　56

4.复利**大化的存款方法....................................................　59

5.让银行存款翻倍需要多少年..............................................　61

6.用对数透视自然法则........................................................　64

第4章　不可思议的素数.............................................................　69

序纯粹数学的精华..............................................................　69

1.埃拉托斯特尼筛法与素数的发现.......................................　72

2.素数有无穷个.................................................................　74

3.素数的分布存在规律........................................................　77

4.用素数判定“帕斯卡三角形”.............................................　79

5.通过费马检测就是素数？.................................................　82

6.保护通信秘密的“公钥密码”.............................................　85

7.公钥密码的钥匙，欧拉定理..............................................　87

8.卡号SSL传输的原理.............................................　90

第5章　无限世界与不完备性定理...............................................　97

序欢迎来到加州旅馆！........................................................　97

11=0.99999...让人难以接受？......................................　107

2.阿喀琉斯永远追不上乌龟？............................................　110

3.“我正在说谎”...............................................................　112

4.“不在场证明”与“反证法”.............................................　114

5.哥德尔不完备性定理......................................................　115

第6章　测量宇宙的形状...........................................................　121

序古希腊人如何测量地球周长？........................................　121

1.基础中的基础，三角形的性质........................................　125

1.1　证明三角形内角和为180°.....................................　127

1.2　让人终生难忘的“勾股定理”证明............................　130

2.笛卡儿坐标与划时代的创想............................................　134

3.六维、九维、十维.........................................................　138

4.欧几里得公理不成立的世界............................................　140

5.唯独平行公理不成立的世界............................................　142

6.不用外部观测即可得知形状的“神奇定理”.......................　145

7.画一个边长为100亿光年的三角形...................................　148

第7章　微分源于积分..............................................................　153

序来自阿基米德的书信......................................................　153

1.为何先从积分开始？......................................................　155

2.面积如何计算.........................................................　156

3.任何形状都OK，阿基米德的夹逼定理............................　158

4.积分计算什么.........................................................　160

5.积分与函数...................................................................　164

6.飞矢不动？...................................................................　167

7.微分是积分的逆运算......................................................　169

8.指数函数的微分与积分..................................................　171

第8章　真实存在的“假想数字”...............................................　175

序假想的朋友，假想的数字...............................................　175

1.平方为负的奇怪数字......................................................　176

2.从一维的实数到二维的复数............................................　179

3.复数的乘法运算“旋转与伸长”.......................................　185

4.从加法导出的加法定理..................................................　189

5.用方程解决几何问题......................................................　191

6.三角函数、指数函数与欧拉公式.....................................　195

第9章　测量“难”与“美”........................................................　201

序伽罗瓦，20年的生涯与不灭功绩.....................................　201

1.图形的对称性是什么......................................................　206

2.“群”的发现..................................................................　210

3.二次方程求根公式的秘密...............................................　214

4.三次方程为何可解.........................................................　218

5.方程可解是什么意思......................................................　224

6.五次方程与正二十面体..................................................　227

7.伽罗瓦**后的书信.........................................................　229

8.方程的“难度”与图形的“美”.........................................　230

9.拥有第 二个灵魂............................................................　233

后记.........................................................................................　237

大栗博司 美国加州理工学院理论物理讲席教授，理论物理研究所（burkeinstitute.caltech.edu）所长，日本东京大学Kavli数学物理学联合宇宙研究机构（Kavli IPMU）研究主任。东京大学理学博士，发现了量子场论与超弦理论的深层数学构造，其研究曾获得美国数学学会大奖（2008年）、德国洪堡研究奖（2009年）、日本仁科纪念奖(2009年)、日本数学学会詹姆斯?西蒙斯奖（2012年），《超弦理论：探究时间、空间及宇宙的本原》获得2014年日本第30届日本讲谈社科学出版奖。著有前沿物理科普三部曲《引力是什么》《强力与弱力》《超弦理论》，数学入门科普《用数学的语言看世界》等。

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在你出生之时，我曾想到，希望你在这世上幸福生活的同时，也能成为社会进步的推动者。虽然现代社会问题不少，不过我认为现在是人类历史中最精彩的时代。我也像每一位父母一样，希望自己的子女能够享受到世界上最好的东西。不过，仅仅这样并不够，这个精彩的时代是人类的智慧和努力构建出来的。我希望你不只是成果的受惠者，也希望你能成为创造者，为后世留下更好的成果。

21 世纪也可以说是一个不确定的时代，国际社会的规则也在不断改变。中国有13 亿人，印度有12 亿人。如果这些群体的大多数接受高等教育，进而从事知识研究事业，世界的面貌又会为之一新。说起这件事情，有些人担心日本和美国的发达国家地位会因此受到威胁，但我并不这么认为。如果发展中国家几十亿人获得良好的教育机会，也会随之诞生出很多解决目前社会问题的新途径。世界整体教育水平上升，能够分配的“蛋糕”才能更大。这些情况，对于生于21 世纪的你，既是挑战，也是一个巨大的机会。

在这个瞬息万变的世界中，自主思考的能力必不可少。欧洲有“七艺”（Liberal Arts）的教育传统，Liberal 原指“自由”，即“永不为奴”的意思。也就是说，Liberal Arts 是一种让人自主掌握命运、成为自由之人的素养。不管是成为领导者之时，还是面临预想之外的问题之时，都必须锻炼自主思考解决问题的能力。

在古罗马时期，“七艺”为逻辑、语法、修辞、音乐、天文，还有算术和几何。最开始的三项是为了磨炼“论证”的语言技术，我认为这三项排在前面，是因为它们是语言成形的必要条件，只有学会使用语言，才能获得思考的能力。

“七艺”之中的“算术”和“几何”都属于数学领域，我觉得很有趣。通常情况下，大家会认为语言领域的文学或外国语言文学属于文科，数学属于理科，但我认为数学是和语言学习一样的东西。数学可以精准地描述事物，这种描述能力超越了英语、日语等自然语言的表现能力。所以如果理解数学...

以下是公元前 4 世纪的哲学家欧布里德提出的一个悖论。

“我正在说谎。”

这个命题本身就自相矛盾。命题 A 存在“矛盾”意味着可以推导出与命题 A 不同的命题 B，以及否定命题 A 的否定命题 B。假设欧布里德的命题是 A，那么可以推导出 B：“欧布里德正在说谎。”但是，因为欧布里德正在说谎，所以命题 A 本身也是谎言，从而可以推导出否定命题 B：“欧布里德没有在说谎。”因此，欧布里德的命题自相矛盾。这就是“自我指涉引发的悖论”。

自我指涉引发的悖论很容易解决，只要将其理解成“无意思的命题”即可。例如谁都会读“我正在说谎”这句话，但是这句话并不符合逻辑。悖论带给我们的教训就是，含有自我指涉意味的句子其实不含任何意思。

这看起来好像是文字游戏，不过关系到著名的“哥德尔不完备性定理”。古希腊的悖论在两千年后给希尔伯特的宏大计划带来了致命的打击。

Liberal Arts 是一种让人自主掌握命运、成为自由之人的素养。

但是，如果使用这个方法判定300位数是否是素数，因为10＾300的平方根是10＾150，所以必须一一验证是否能够被10＾150个数整除。所谓的“京速计算机”可以在1秒内进行10＾150次的演算。宇宙的年龄有138亿年，差不多4×10＾7秒，那么，即使用京速计算机从宇宙诞生起计算到现在，也只能进行4×10＾33次。这样还是无法判断300位数是否是素数。

[开始证明]使用反证法，假设“存在能判定停止的程序”。所以在输入别的程序P时，这个程序会提醒我们P是否会停止。如果存在能判定停止的程序，那么就可以创建新程序，即当输入P时，

（1）如果判定P会停止，那么继续运行。

（2）如果判定P不会停止，那么停止运行。

虽然有点奇怪，不过只要存在能判定停止的程序，就可以创建上述新程序。

那么如果把这个程序本身输入该程序内又会怎么样呢？如果判定结果是该程序会停止，那么必须按照（1）继续运行。但是继续运行的话，那么必须按照（2）停止。因为二者相互矛盾，所以不可能创建这样的程序。[结束证明]”

[开始证明]假设第一不完备性定理不正确。那么，所有对于自然数的命题都能被证明或者被否定。图灵机处理的对象是写入磁带的符号，因此程序是否停止这个问题可以解释为处理自然数的命题。那么，可以证明或者否定命题“程序会停止”。因此如果这个步骤替换成程序的话，相当于能创建判定停止的程序。因为不存在能判定停止的程序，所以该命题自相矛盾。由于矛盾是从“第一不完备性定理不正确”的假设中推导而出，因此证明了该定理。[结束证明]

第一不完备性定理：任意一个包含自然数及其算术运算在内的公理中，当这个公理无矛盾时，对于自然数都存在一个命题，它在这个公理中既不能被证明也不能被否定。

第二不完备性定理：任意一个包含自然数及其算术运算在内的公理中，当这个公理无矛盾时，它的无矛盾性不可能在这个公理系统内得到证明。

证明某个公理系统的无矛盾性需要思考更大的公理系统。如果存在更大的公理系统，能够证明某个公理系统无矛盾性的话，可以说这个更大的公理系统比原来的公理系统更“强”。一般情况下很难判定两个给定的公理系统是否属于相同级别。但是，如果是两个满足不完备性定理条件的公理系统，并且使用其中一个公理系统可以证明另一个公理系统的无矛盾性的话，说明其中存在“强弱”关系，从而表明这两个公理系统并不属于相同级别。不完备性定理还有上述作用。。不完备性定理是对于自然数体系的见解，拥有完备且无矛盾的公理系统。例如，实数的加法运算和乘法运算中不存在矛盾。不过在实数的范围中，如果要给作为其中部分集合的自然数下定义的话，在这个理论之内无法证明自身不存在矛盾。所以，不完备性定理是对于包含自然数在内的理论的限定性见解。我们有时会听到类似“哥德尔定理表明了我们的知识是不确定的”的说法，其实这个定理并不具有这种普遍性的意义。

书籍介绍

本书为理论物理学家大栗博司先生写给自己女儿的数学读本，全书以用“数学语言”解读自然为线索，用生动故事和比喻重新讲解了数学的核心原理与体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”的思维方式，是数学入门，重新理解数学的科普佳作。

数学可以精准地描述事物，这种描述能力超越了英语、日语等自然语言的表现能力。所以如果理解数学，就能看到那些无形、不可见的东西，想出从未想到过的新创意。