普林斯顿三剑客数学读本（3册） 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子书 mobi 在线

9787115435590 普林斯顿微积分读本（修订版） 99.00

9787115543776 普林斯顿概率论读本 139.00

9787115543844 普林斯顿数学分析读本 69.00

《普林斯顿微积分读本（修订版）》

本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧，目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容，还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书，也可以作为教材，定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

《普林斯顿概率论读本》

本书讲解概率论的基础内容, 包括组合分析、概率论公理、条件概率、离散型随机变量、

连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等, 内容丰富, 通俗易懂, 并配有丰富的例子和大量习题, 涉及物理学、生物学、化学、遗传学、博弈论、经济学等多方面的应用，极具启发性。

《普林斯顿数学分析读本》

本书是《普林斯顿××读本》系列图书的第二本，该套书的论述风格友好、平易近人，通过作者与读者之间的互动对话和相关示例非常清晰地阐明了数学概念，提供了命题和定量逻辑方面的知识，可以使读者精通自己的数学思路。本书讲解了学习实分析的基础内容，包括基本的数学与逻辑、实数、集合、拓扑、序列等．作者以通俗易懂且略带幽默的口吻讲述了两步式求解方法：首先展示如何回溯到求解问题的关键，之后说明如何严谨规范地写下解题过程。书中还给出了丰富的示例，帮助学生巩固所学知识。

《普林斯顿微积分读本（修订版）》

第 1 章函数、图像和直线1

1.1　函数1

1.1.1　区间表示法3

1.1.2　求定义域3

1.1.3　利用图像求值域4

1.1.4　垂线检验5

1.2　反函数6

1.2.1　水平线检验7

1.2.2　求反函数8

1.2.3　限制定义域　8

1.2.4　反函数的反函数　9

1.3　函数的复合　10

1.4　奇函数和偶函数　12

1.5　线性函数的图像　14

1.6　常见函数及其图像　16

第 2　章三角学回顾　21

2.1　基本知识　21

2.2　扩展三角函数定义域　23

2.2.1　ASTC 方法　25

2.2.2　[0, 2π] 以外的三角函数　27

2.3　三角函数的图像　29

2.4　三角恒等式　32

第3　章极限导论　34

3.1　极限：基本思想　34

3.2　左极限与右极限　36

3.3　何时不存在极限　37

3.4　在∞和-∞处的极限　38

3.5　关于渐近线的两个常见误解　41

3.6　三明治定理　43

3.7　极限的基本类型小结　45

第4　章求解多项式的极限问题　47

4.1　x → a 时的有理函数的极限　47

4.2　x → a 时的平方根的极限　50

4.3　x → ∞时的有理函数的极限　51

4.4　x → ∞时的多项式型函数的极限　56

4.5　x → -∞ 时的有理函数的极限　59

4.6　函数的极限　61

第5　章连续性和可导性　63

5.1　连续性　63

5.1.1　在一点处连续　63

5.1.2　在一个区间上连续　64

5.1.3　连续函数的一些例子　65

5.1.4　介值定理　67

5.1.5　一个更难的介值定理

例子　　69

5.1.6　连续函数的**大值和

**小值　　70

5.2　可导性　71

5.2.1　平均速率　72

5.2.2　位移和速度　72

5.2.3　瞬时速度　73

5.2.4　速度的图像阐释　74

5.2.5　切线　75

5.2.6　导函数　77

5.2.7　作为极限比的导数　78

5.2.8　线性函数的导数　80

5.2.9　二阶导数和更高阶导数　80

5.2.10　何时导数不存在　81

5.2.11　可导性和连续性　82

第6　章求解微分问题　84

6.1　使用定义求导　84

6.2　用更好的办法求导　87

6.2.1　函数的常数倍　88

6.2.2　函数和与函数差　88

6.2.3　通过乘积法则求积函数的导数　88

6.2.4　通过商法则求商函数的导数　90

6.2.5　通过链式求导法则求复合函数的导数　91

6.2.6　那个难以处理的例子　94

6.2.7　乘积法则和链式求导法则的理由　96

6.3　求切线方程　98

6.4　速度和加速度　99

6.5　导数伪装的极限　101

6.6　分段函数的导数　103

6.7　直接画出导函数的图像　106

第7　章三角函数的极限和导数　111

7.1　三角函数的极限　111

7.1.1　小数的情况　111

7.1.2　问题的求解——小数的情况　113

7.1.3　大数的情况　117

7.1.4　其他的" 情况　120

7.1.5　一个重要极限的证明　121

7.2　三角函数的导数　124

7.2.1　求三角函数导数的例子　127

7.2.2　简谐运动　128

7.2.3　一个有趣的函数　129

第8　章隐函数求导和相关变化率　132

8.1　隐函数求导　132

8.1.1　技巧和例子　133

8.1.2　隐函数求二阶导　137

8.2　相关变化率　138

8.2.1　一个简单的例子　139

8.2.2　一个稍难的例子　141

8.2.3　一个更难的例子　142

8.2.4　一个非常难的例子　144

第9　章指数函数和对数函数　148

9.1　基础知识　148

9.1.1　指数函数的回顾　148

9.1.2　对数函数的回顾　149

9.1.3　对数函数、指数函数及反函数　150

9.1.4　对数法则　151

9.2　e 的定义　153

9.2.1　一个有关复利的问题　153

9.2.2　问题的答案　154

9.2.3　更多关于e 和对数函数的内容　156

9.3　对数函数和指数函数求导　158

9.4　求解指数函数或对数函数的极限　161

9.4.1　涉及e 的定义的极限　161

9.4.2　指数函数在0 附近的行为　162

9.4.3　对数函数在1 附近的行为　164

9.4.4　指数函数在∞或-∞附近的行为　164

9.4.5　对数函数在∞附近的行为　167

9.4.6　对数函数在0 附近的行为　168

9.5　取对数求导法　169

9.6　指数增长和指数衰变　173

9.6.1　指数增长　174

9.6.2　指数衰变　176

9.7　双曲函数　178

第 10　章反函数和反三角函数　181

10.1　导数和反函数　181

10.1.1　使用导数证明反函数存在　181

10.1.2　导数和反函数：可能出现的问题　182

10.1.3　求反函数的导数　183

10.1.4　一个综合性例子　185

10.2　反三角函数　187

10.2.1　反正弦函数　187

10.2.2　反余弦函数　190

10.2.3　反正切函数　192

10.2.4　反正割函数　194

10.2.5　反余割函数和反余切函数　195

10.2.6　计算反三角函数　196

10.3　反双曲函数　199

第 11　章导数和图像　202

11.1　函数的极值　202

11.1.1　全局极值和局部极值　202

11.1.2　极值定理　203

11.1.3　求全局**大值和**小值　204

11.2　罗尔定理　206

11.3　中值定理　209

11.4　二阶导数和图像　212

11.5　对导数为零点的分类　215

11.5.1　使用一次导数　215

11.5.2　使用二阶导数　217

第 12　章绘制函数图像　219

12.1　建立符号表格　219

12.1.1　建立一阶导数的符号表格　221

12.1.2　建立二阶导数的符号表格　222

12.2　绘制函数图像的全面方法　224

12.3　例题　225

12.3.1　一个不使用导数的例子　225

12.3.2　完整的方法：例一　227

12.3.3　完整的方法：例二　229

12.3.4　完整的方法：例三　231

12.3.5　完整的方法：例四　234

第 13　章**优化和线性化　239

13.1　**优化　239

13.1.1　一个简单的**优化例子　239

13.1.2　**优化问题：一般方法　240

13.1.3　一个**优化的例子　241

13.1.4　另一个**优化的例子　242

13.1.5　在**优化问题中使用隐函数求导　246

13.1.6　一个较难的**优化例子　246

13.2　线性化　249

13.2.1　线性化问题：一般方法　251

13.2.2　微分　252

13.2.3　线性化的总结和例子　254

13.2.4　近似中的误差　256

13.3　牛顿法　258

第 14　章洛必达法则及极限问题总结　263

14.1　洛必达法则　263

14.1.1　类型A：0/0 　263

14.1.2　类型A：±∞/±∞ 　266

14.1.3　类型B1: (∞-∞) 　267

14.1.4　类型B2: (0 x±∞) 　269

14.1.5　类型C: 1±∞，00 或∞0　270

14.1.6　洛必达法则类型的总结　272

14.2　关于极限的总结　273

第 15　章积分　276

15.1　求和符号　276

15.1.1　一个有用的求和　279

15.1.2　伸缩求和法　280

15.2　位移和面积　283

15.2.1　三个简单的例子　283

15.2.2　一段更常规的旅行　285

15.2.3　有向面积　287

15.2.4　连续的速度　288

15.2.5　两个特别的估算　291

第 16　章定积分　293

16.1　基本思想　293

16.2　定积分的定义　297

16.3　定积分的性质　301

16.4　求面积　305

16.4.1　求通常的面积　306

16.4.2　求解两条曲线之间的面积　308

16.4.3　求曲线与y 轴所围成的面积　310

16.5　估算积分　313

16.6　积分的平均值和中值定理　316

16.7　不可积的函数　319

第 17　章微积分基本定理　321

17.1　用其他函数的积分来表示的函数　321

17.2　微积分的第 一基本定理　324

17.3　微积分的第 二基本定理　328

17.4　不定积分　329

17.5　怎样解决问题：微积分的第 一基本定理　331

17.5.1　变形1：变量是积分下限　332

17.5.2　变形2：积分上限是一个函数　332

17.5.3　变形3：积分上下限都为函数　334

17.5.4　变形4：极限伪装成导数　335

17.6　怎样解决问题：微积分的第 二基本定理　336

17.6.1　计算不定积分　336

17.6.2　计算定积分　339

17.6.3　面积和 　341

17.7　技术要点　344

17.8　微积分第 一基本定理的证明　345

第 18　章积分的方法I　347

18.1　换元法　347

18.1.1　换元法和定积分　350

18.1.2　如何换元　353

18.1.3　换元法的理论解释　355

18.2　分部积分法　356

18.3　部分分式　361

18.3.1　部分分式的代数运算　361

18.3.2　对每一部分积分　365

18.3.3　方法和一个完整的例子　367

第 19　章积分的方法II 　373

19.1　应用三角恒等式的积分　373

19.2　关于三角函数的幂的积分　376

19.2.1　sin 或cos 的幂　376

19.2.2　tan 的幂　378

19.2.3　sec 的幂　379

19.2.4　cot 的幂　381

19.2.5　csc 的幂　382

19.2.6　约化公式　382

19.3　关于三角换元法的积分　384

19.3.1　类型1：pa2   x2 　384

19.3.2　类型2：px2 a2 　386

19.3.3　类型3：px2   a2 　387

19.3.4　配方和三角换元法　388

19.3.5　关于三角换元法的总结　389

19.3.6　平方根的方法和三角换元法　389

19.4　积分技巧总结　391

第 20　章反常积分：基本概念　393

20.1　收敛和发散　393

20.1.1　反常积分的一些例子　395

20.1.2　其他破裂点　397

20.2　关于无穷区间上的积分　398

20.3　比较判别法(理论)　400

20.4　极限比较判别法(理论)　402

20.4.1　函数互为渐近线　402

20.4.2　关于判别法的陈述　404

20.5　p 判别法(理论) 　405

20.6　绝√收敛判别法　407

第 21　章反常积分：如何解题　410

21.1　如何开始　410

21.1.1　拆分积分　410

21.1.2　如何处理负函数值　411

21.2　积分判别法总结　413

21.3　常见函数在∞ 和-∞附近的表现　414

21.3.1　多项式和多项式型函数在∞ 和-∞ 附近的表现　415

21.3.2　三角函数在∞ 和-∞ 附近的表现　417

21.3.3　指数在∞和-∞附近的表现　419

21.3.4　对数在∞ 附近的表现　422

21.4　常见函数在0 附近的表现　426

21.4.1　多项式和多项式型函数在0 附近的表现　426

21.4.2　三角函数在0 附近的表现　427

21.4.3　指数函数在0 附近的表现　429

21.4.4　对数函数在0 附近的表现　430

21.4.5　更一般的函数在0 附近的表现　431

21.5　如何应对不在0 或1 处的瑕点　432

第 22　章数列和级数：基本概念　434

22.1　数列的收敛和发散　434

22.1.1　数列和函数的联系　435

22.1.2　两个重要数列　436

22.2　级数的收敛与发散　438

22.3　第n 项判别法(理论) 　442

22.4　无穷级数和反常积分的性质　443

22.4.1　比较判别法(理论) 　443

22.4.2　极限比较判别法(理论) 　444

22.4.3　p 判别法(理论)　444

22.4.4　绝√收敛判别法　445

22.5　级数的新判别法　447

22.5.1　比式判别法(理论) 　447

22.5.2　根式判别法(理论) 　449

22.5.3　积分判别法(理论) 　450

22.5.4　交错级数判别法(理论) 　453

第 23　章求解级数问题　455

23.1　求几何级数的值　455

23.2　应用第n 项判别法　457

23.3　应用比式判别法　457

23.4　应用根式判别法　461

23.5　应用积分判别法　462

23.6　应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法　463

23.7　应对含负项的级数　468

第 24　章泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论　472

24.1　近似值和泰勒多项式　472

24.1.1　重访线性化　472

24.1.2　二次近似　473

24.1.3　高阶近似　474

24.1.4　泰勒定理　475

24.2　幂级数和泰勒级数　478

24.2.1　一般幂级数　479

24.2.2　泰勒级数和麦克劳林级数　481

24.2.3　泰勒级数的收敛性　481

24.3　一个有用的极限　485

第 25　章求解估算问题　487

25.1　泰勒多项式与泰勒级数总结　487

25.2　求泰勒多项式与泰勒级数　488

25.3　用误差项估算问题　491

25.3.1　第 一个例子　492

25.3.2　第 二个例子　494

25.3.3　第三个例子　495

25.3.4　第四个例子　496

25.3.5　第五个例子　497

25.3.6　误差项估算的一般方法　499

25.4　误差估算的另一种方法　499

第 26　章泰勒级数和幂级数：如何解题　502

26.1　幂级数的收敛性　502

26.1.1　收敛半径　502

26.1.2　求收敛半径和收敛区域　504

26.2　合成新的泰勒级数　508

26.2.1　代换和泰勒级数　509

26.2.2　泰勒级数求导　511

26.2.3　泰勒级数求积分　512

26.2.4　泰勒级数相加和相减　514

26.2.5　泰勒级数相乘　515

26.2.6　泰勒级数相除　516

26.3　利用幂级数和泰勒级数求导　517

26.4　利用麦克劳林级数求极限　519

第 27　章参数方程和极坐标　523

27.1　参数方程　523

27.2　极坐标　528

27.2.1　极坐标与笛卡儿坐标互换　529

27.2.2　极坐标系中画曲线　530

27.2.3　求极坐标曲线的切线　534

27.2.4　求极坐标曲线围成的面积　535

第 28　章复数　538

28.1　基础　538

28.2　复平面　541

28.3　复数的高次幂　544

28.4　解zn = w 　545

28.5　解ez = w 　550

28.6　一些三角级数　552

28.7　欧拉恒等式和幂级数　554

第 29　章体积、弧长和表面积　556

29.1　旋转体的体积　556

29.1.1　圆盘法　557

29.1.2　壳法　558

29.1.3　总结和变式　560

29.1.4　变式1：区域在曲线和y 轴之间　561

29.1.5　变式2：两曲线间的区域　562

29.1.6　变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转　565

29.2　一般立体体积　567

29.3　弧长　571

29.4　旋转体的表面积　574

第30　章微分方程　578

30.1　微分方程导论　578

30.2　可分离变量的一阶微分方程　579

30.3　一阶线性方程　581

30.4　常系数微分方程　585

30.4.1　解一阶齐次方程　586

30.4.2　解二阶齐次方程　586

30.4.3　为什么特征二次方程适用　587

30.4.4　非齐次方程和特解　588

30.4.5　求特解　589

30.4.6　求特解的例子　590

30.4.7　解决yP 和yH 间的冲突　592

30.4.8　IVP 　593

30.5　微分方程建模　595

附录A　极限及其证明　598

A.1　极限的正式定义　598

A.2　由原极限产生新极限　602

A.3　极限的其他情形　606

A.4　连续与极限　611

A.5　再谈指数函数和对数函数　616

A.6　微分与极限　618

A.7　泰勒近似定理的证明　627

附录B　估算积分　629

B.1　使用条纹估算积分　629

B.2　梯形法则　632

B.3　辛普森法则　634

B.4　近似的误差　636

符号列表　　640

索引　　643

《普林斯顿概率论读本》

第 一部分 一般性理论

第 1章 引言　　2

1.1 生日问题　　3

1.1.1 陈述问题　　3

1.1.2 解决问题　　6

1.1.3 对问题和答案的推广：效率　　11

1.1.4 数值检验　　14

1.2 从投篮到几何级数　　16

1.2.1 问题和解答　　16

1.2.2 相关问题　　22

1.2.3 一般问题的解决技巧　　25

1.3 赌博　　28

1.3.1 2008年超级碗赌注　　29

1.3.2 预期收益　　29

1.3.3 对冲的价值　　31

1.3.4 结论　　32

1.4 总结　　33

1.5 习题　　35

第 2章 基本概率定律　　41

2.1 悖论　　42

2.2 集合论综述　　44

2.2.1 编程漫谈　　48

2.2.2 无穷大的大小和概率　　50

2.2.3 开集和闭集　　52

2.3 结果空间、事件和概率公理　　54

2.4 概率公理　　59

2.5 基本概率规则　　61

2.5.1 全概率公式　　62

2.5.2 并的概率　　63

2.5.3 包含的概率　　66

2.6 概率空间和σ代数　　67

2.7 附录：实验性地找出规律　　72

2.7.1 乘积求导法则　　73

2.7.2 并的概率　　74

2.8 总结　　75

2.9 习题　　75

第3章 计数I：纸牌　　80

3.1 阶乘和二项式系数　　81

3.1.1 阶乘函数　　81

3.1.2 二项式系数　　85

3.1.3 总结　　90

3.2 扑克牌　　90

3.2.1 规则　　91

3.2.2 小牌型　　93

3.2.3 对子　　95

3.2.4 两对　　98

3.2.5 三条　　99

3.2.6 顺子、同花和同花顺　　99

3.2.7 葫芦和铁支　　100

3.2.8 扑克牌型练习：I　　102

3.2.9 扑克牌型练习：II　　103

3.3 单人纸牌　　105

3.3.1 克朗代克纸牌　　105

3.3.2 Aces Up纸牌　　108

3.3.3 《空当接龙》　　110

3.4 桥牌　　112

3.4.1 井字游戏　　113

3.4.2 桥牌牌局的个数　　115

3.4.3 将牌的分配　　121

3.5 附录：计算概率的代码　　125

3.5.1 将牌的分配和代码　　125

3.5.2 扑克牌型的代码　　127

3.6 总结　　130

3.7 习题　　130

第4章 条件概率、独立性和贝叶斯定理　　134

4.1 条件概率　　135

4.1.1 猜测条件概率公式　　137

4.1.2 期望计数法　　138

4.1.3 文氏图法　　140

4.1.4 蒙提霍尔问题　　141

4.2 一般乘法法则　　142

4.2.1 陈述. 　　142

4.2.2 扑克牌的例子　　143

4.2.3 帽子问题和纠错码　　144

4.2.4 高等注解：条件概率的定义　　145

4.3 独立性　　146

4.4 贝叶斯定理　　148

4.5 划分和全概率法则　　154

4.6 回顾贝叶斯定理　　157

4.7 总结　　158

4.8 习题　　158

第5章 计数II：容斥原理　　162

5.1 阶乘和二项式问题　　163

5.1.1 “有多少个”与“概率是什么”　　163

5.1.2 选组　　165

5.1.3 循环次序　　166

5.1.4 选择套装　　168

5.2 容斥方法　　170

5.2.1 容斥原理的特例　　170

5.2.2 容斥原理的陈述　　173

5.2.3 容斥公式的证明　　175

5.2.4 利用容斥原理：同花色牌型　　177

5.2.5 从“至少”到“恰好”的方法　　180

5.3 错排　　182

5.3.1 错排的个数　　183

5.3.2 错排数的概率　　184

5.3.3 错排试验的代码　　185

5.3.4 错排的应用　　187

5.4 总结　　188

5.5 习题　　190

第6章 计数III：高等组合学　　193

6.1 基本计数　　194

6.1.1 枚举法I　　194

6.1.2 枚举法II　　195

6.1.3 有放回抽样和无放回抽样　　199

6.2 单词排序　　207

6.2.1 排序方法数　　208

6.2.2 多项式系数　　210

6.3 划分　　213

6.3.1 饼干问题　　213

6.3.2 彩票　　216

6.3.3 其他划分　　220

6.4 总结　　223

6.5 习题　　223

第二部分 介绍随机变量

第7章 离散型随机变量　　228

7.1 离散型随机变量：定义　　228

7.2 离散型随机变量：概率密度函数　　230

7.3 离散型随机变量：累积分布函数　　233

7.4 总结　　241

7.5 习题　　243

第8章 连续型随机变量　　246

8.1 微积分基本定理　　247

8.2 概率密度函数和累积分布函数：定义　　259

8.3 概率密度函数和累积分布函数：例子　　251

8.4 单元素事件的概率　　256

8.5 总结　　258

8.6 习题　　259

第9章 工具：期望　　262

9.1 微积分预备知识　　263

9.2 期望值和矩　　265

9.3 均值和方差　　268

9.4 联合分布　　273

9.5 期望的线性性质　　277

9.6 均值和方差的性质　　282

9.7 偏斜度与峰度　　287

9.8 协方差　　287

9.9 总结　　288

9.10 习题. 　　289

第 10章 工具：卷积和变量替换　　292

10.1 卷积：定义和性质　　293

10.2 卷积：掷骰子的例子　　296

10.2.1 理论计算　　296

10.2.2 卷积码　　297

10.3 多变量的卷积　　298

10.4 变量替换公式：叙述　　301

10.5 变量替换公式：证明　　305

10.6 附录：随机变量的乘积与商　　309

10.6.1 乘积的概率密度函数　　310

10.6.2 商的概率密度函数　　311

10.6.3 例子：指数分布的商　　311

10.7 总结　　313

10.8 习题　　313

第 11章 工具：微分恒等式　　317

11.1 几何级数的例子　　318

11.2 微分恒等式法　　321

11.3 在二项分布随机变量上的应用　　322

11.4 在正态分布随机变量上的应用　　326

11.5 在指数分布随机变量上的应用　　328

11.6 总结　　330

11.7 习题　　331

第三部分 特殊分布

第 12章 离散分布　　334

12.1 伯努利分布　　334

12.2 二项分布　　335

12.3 多项分布　　339

12.4 几何分布　　341

12.5 负二项分布　　343

12.6 泊松分布　　347

12.7 离散均匀分布　　350

12.8 习题　　353

第 13章 连续型随机变量：均匀分布与指数分布　　357

13.1 均匀分布　　357

13.1.1 均值和方差　　358

13.1.2 服从均匀分布的随机变量之和　　359

13.1.3 例子　　362

13.1.4 均匀地生成随机数　　364

13.2 指数分布　　365

13.2.1 均值和方差　　366

13.2.2 服从指数分布的随机变量之和　　369

13.2.3 服从指数分布的随机变量的例子与应用　　372

13.2.4 从指数分布中生成随机数　　373

13.3 习题　　376

第 14章 连续型随机变量：正态分布　　379

14.1 确定标准化常数　　380

14.2 均值和方差　　383

14.3 服从正态分布的随机变量之和　　386

14.3.1 情形1：μX = μY = 0且σX^2 = σY^ 2 = 1　　388

14.3.2 情形2：一般化的μX、μY 和σX^2、σY^2 　　390

14.3.3 两个服从正态分布的随机变量之和：更快的代数运算　　393

14.4 从正态分布中生成随机数　　394

14.5 例子与中心极限定理　　400

14.6 习题　　401

第 15章 伽马函数与相关分布　　405

15.1 Γ(s) 的存在性　　405

15.2 Γ(s) 的函数方程　　407

15.3 阶乘函数与Γ(s) 　　411

15.4 Γ(s) 的特殊值　　412

15.5 贝塔函数与伽马函数　　414

15.5.1 基本关系式的证明　　415

15.5.2 基本关系式和Γ(1=2) 　　417

15.6 正态分布与伽马函数　　418

15.7 随机变量族　　419

15.8 附录：余割等式的证明　　421

15.8.1 余割等式：第 一种证明　　421

15.8.2 余割等式：第二种证明　　425

15.8.3 余割等式：s = 1=2的特殊情形　　427

15.9 柯西分布　　429

15.10 习题　　431

第 16章 卡方分布　　433

16.1 卡方分布的起源　　434

16.2 X ~x^2(1) 的均值与方差　　436

16.3 卡方分布与服从正态分布的随机变量之和　　437

16.3.1 直接积分求平方和　　439

16.3.2 利用变量替换定理求平方和　　440

16.3.3 卷积法求平方和　　444

16.3.4 服从卡方分布的随机变量之和　　446

16.4 总结　　447

16.5 习题　　449

第四部分 极限定理

第 17章 不等式和大数定律　　452

17.1 不等式　　452

17.2 马尔可夫不等式　　454

17.3 切比雪夫不等式　　456

17.3.1 陈述　　456

17.3.2 证明　　458

17.3.3 正态分布与均匀分布的例子　　460

17.3.4 指数分布的例子　　462

17.4 布尔不等式与邦弗伦尼不等式　　462

17.5 收敛类型　　464

17.5.1 依分布收敛　　464

17.5.2 依概率收敛　　466

17.5.3 几乎必然收敛与必然收敛　　467

17.6 弱大数定律与强大数定律　　467

17.7 习题　　469

第 18章 斯特林公式　　472

18.1 斯特林公式与概率　　474

18.2 斯特林公式与级数的收敛性　　476

18.3 从斯特林公式到中心极限定理　　477

18.4 积分判别法与较弱的斯特林公式　　481

18.5 得到斯特林公式的基本方法　　484

18.5.1 二进分解　　484

18.5.2 斯特林公式的下界：I　　486

18.5.3 斯特林公式的下界：II　　488

18.5.4 斯特林公式的下界：III　　490

18.6 静态相位与斯特林公式　　491

18.7 中心极限定理与斯特林公式　　492

18.8 习题　　494

第 19章 生成函数与卷积　　496

19.1 动机　　496

19.2 定义　　498

19.3 生成函数的性和收敛性　　503

19.4 卷积I：离散型随机变量　　504

19.5 卷积II：连续型随机变量　　508

19.6 矩母函数的定义与性质　　514

19.7 矩母函数的应用　　521

19.8 习题　　525

第 20章 中心极限定理的证明　　527

20.1 证明的关键思路　　537

20.2 中心极限定理的陈述　　529

20.3 均值、方差与标准差　　531

20.4 标准化　　532

20.5 矩母函数的相关结果　　536

20.6 特殊情形：服从泊松分布的随机变量之和　　538

20.7 利用MGF证明一般的CLT　　541

20.8 使用中心极限定理　　543

20.9 中心极限定理与蒙特卡罗积分　　544

20.10 总结　　546

20.11 习题　　547

第 21章 傅里叶分析与中心极限定理　　552

21.1 积分变换　　553

21.2 卷积与概率论　　557

21.3 中心极限定理的证明　　560

21.4 总结　　563

21.5 习题　　564

第五部分 其他主题

第 22章 假设检验　　568

22.1 Z检验　　569

22.1.1 原假设与备择假设　　569

22.1.2 显著性水平　　570

22.1.3 检验统计量　　572

22.1.4 单侧检验与双侧检验　　575

22.2 p值　　578

22.2.1 非凡的主张与p值　　578

22.2.2 大的p值　　579

22.2.3 关于p值的误解　　579

22.3 t检验　　581

22.3.1 估算样本方差　　581

22.3.2 从z检验到t检验　　582

22.4 假设检验的问题　　585

22.4.1 I型错误　　585

22.4.2 II型错误　　585

22.4.3 错误率与司法系统　　586

22.4.4 功效　　587

22.4.5 效应量　　588

22.5 卡方分布、拟合优度　　588

22.5.1 卡方分布与方差检验　　589

22.5.2 卡方分布与t分布　　592

22.5.3 列表数据的拟合优度　　593

22.6 双样本检验　　595

22.6.1 双样本z检验：方差已知　　595

22.6.2 双样本t检验：方差未知但相等　　598

22.6.3 方差未知且不相等　　599

22.7 总结　　601

22.8 习题　　 602

第 23章 差分方程、马尔可夫过程和概率论　　 604

23.1 从斐波那契数到轮盘赌　　604

23.1.1 翻倍加一策略　　604

23.1.2 对斐波那契数的快速回顾　　606

23.1.3 递推关系与概率　　608

23.1.4 讨论与推广　　609

23.1.5 轮盘赌问题的代码　　610

23.2 递推关系的一般理论　　612

23.2.1 表示法　　612

23.2.2 特征方程　　612

23.2.3 初始条件　　614

23.2.4 关于不同根意味着可逆性的证明　　616

23.3 马尔可夫过程　　617

23.3.1 递推关系与种群动力学　　617

23.3.2 一般的马尔可夫过程　　619

23.4 总结　　620

23.5 习题　　620

第 24章 小二乘法　　622

24.1 问题的描述　　622

24.2 概率论与统计学回顾　　623

24.3 小二乘法　　625

24.4 习题　　629

第 25章 两个著名问题与一些代码　　632

25.1 婚姻/秘书问题　　632

25.1.1 假设与策略　　632

25.1.2 成功的概率　　633

25.1.3 秘书问题的代码　　637

25.2 蒙提霍尔问题　　639

25.2.1 一个简单的解决方案　　639

25.2.2 一种情形　　640

25.2.3 蒙提霍尔问题的代码　　641

25.3 两个随机程序　　642

25.3.1 有放回取样与无放回取样　　642

25.3.2 期望　　643

25.4 习题　　644

附录A 证明技巧（图灵社区下载）

附录B 分析学结果（图灵社区下载）

附录C 可数集与不可数集（图灵社区下载）

附录D 复分析与中心极限定理（图灵社区下载）

《普林斯顿数学分析读本》

第 一部分预备知识 1

第 1 章引言      2

第 2 章基础数学与逻辑    6

第3 章集合论       15

第二部分实数      27

第4 章上确界       28

第5 章实数域       37

第6 章复数与欧几里得空间 50

第三部分拓扑学     63

第7 章双射      64

第8 章可数性     72

第9 章拓扑定义      85

第 10 章闭集和开集     98

第 11 章紧集       107

第 12 章海涅–博雷尔定理   118

第 13 章完备集与连通集  128

第四部分序列      139

第 14 章收敛       140

第 15 章极限与子序列    149

第 16 章柯西序列与单调

序列       159

第 17 章子序列极限   169

第 18 章特殊序列    179

第 19 章级数       187

第 20 章总结     197

致谢        200

参考文献        201

索引        203

《普林斯顿微积分读本（修订版）》

阿德里安·班纳（Adrian Banner）  澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002年起任职于INTECH公司，现为INTECH公司执行官兼投资官。同时，他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。

《普林斯顿概率论读本》

史蒂文·J. 米勒（Steven J. Miller）

美国耶鲁大学数学与物理学学士，普林斯顿大学数学硕士及博士。现任威廉姆斯学院数学教授、Erdos研究所教职研究员，还是美国数学协会和Phi Beta Kappa荣誉学会成员。主要研究方向有数论、线性代数、概率论和统计学。

《普林斯顿数学分析读本》

拉菲·格林伯格（Raffi Grinberg）是一位企业家和管理顾问。他于2012年以优异的成绩从普林斯顿大学毕业，获得了数学学位。

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编辑推荐

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媒体评论

对于学习微积分有困难的同学来说，这是一本难能可贵的参考书。

——《数学教师》杂志

班纳的写作风格引人入胜，一点儿也不古板或令人生畏，他努力阐释解题的所有步骤。因其独到的讲解，本书成为了广大微积分教师的“得力助手”。

——《美国数学月刊》网络版

本书语言平实，亲和力十足，是广大微积分学习者的良师益友。班纳的书写得非常到位，而且非常吸引读者。

——Gerald B. Folland，《高等微积分》作者